Franz - Projekt

Stochastische Modelle der Zellmigration


[2] 2010/Feb/12 CM:

Model features and observed effects

  • Konzept Paper "Stochastic single-particle models of cell migration".
  • "Surface Jam" - Effect weglassen (Unsichere Messung)
  • ==> Keine Zelldichte-Abhängigkeit
  • ==> 3 zu erklärende Effekte: Exp. Invasion, Sub-/Superdiff.
  • Theorie: 5 unabhängige Features im Modell
  • Verbleibende Variabilität im beob. erklären durch Ensemble-Inhomogenität
  • Alle Simulationen mit den gleichen MC-Programm
overview2.gif

[1] 2010/Feb/12 CM:

Binary Markov Walker

(A) Feste Schrittweite

Betrachte Random Walk eines Teilchens auf einem 1D-Gitter. Seine Anfangsposition sei $x_0=0$, die Anfangsgeschwindigkeit $v_0=+1$. Für jeden Zeitschritt t=0,1,2,… gelte $x_{t+1}=x_t+v_t$, wobei die Geschwindigkeiten $v_t$ nur die Werte +1 und -1 annehmen können, im Mittel mit gleicher Häufigkeit.

Die Folge der Geschwindigkeiten $v_t$ sei aber nicht unkorreliert, sondern ein binärer Markovprozess. Wenn $p_s$ die Wahrscheinlichkeit bezeichnet, daß sich das Teilchen in die gleiche Richtung bewegt wie im letzten Zeitschritt, dann lauten die Übergangswahrscheinlichkeiten

(1)
\begin{equation} P(v_t=-1|v_{t-1}=-1)=P(v_t=+1|v_{t-1}=+1)=p_s \end{equation}

und

(2)
\begin{equation} P(v_t=-1|v_{t-1}=+1)=P(v_t=+1|v_{t-1}=-1)=1-p_s. \end{equation}

Die Simulation des Prozesses mit $p_s=0.99$ für $10^6$ Zeitschritte liefert folgende Autokorrelations-Funktion $C_{vv}(\Delta t)$ der Geschwindigkeit:

vcc1.gif

Der semilog. Plot zeigt eine klar exponentiell zerfallende Korrelation mit der Zeitkonstanten $\tau_c=50$:

vcc2.gif

Aus dem resultierenden Teilchenort $x_t$ ergibt sich die folgende MSD:

msd.gif

Für kleine Lagtimes ist die Bewegung ballistisch, für große diffusiv. Die charakteristische Zeit ist seltsamerweise nicht 50, sondern eher 100.

(B) Fluktuierende Schrittweite

Betrachte nun gleiche Situation wie oben, jedoch mit kontinuierlichen Schrittweiten $s_t$, die in jedem Zeitschritt fluktuieren (gemäß einer exponentiellen Verteilung mit Mittelwert $\overline{s}=1$), also $x_{t+1}=x_t + (s_t v_t)$. Man erhält wieder eine exp. zerfallende Autokorrelation der Geschwindigkeit, mit der gleichen Zeitkonstante, jedoch mit einer geringeren Varianz (orange Kurve):

cvv3.gif

Für die MSD erhält man:

msd2.gif

Dies bestätigt im wesentlichen das bereits bekannte Resultat, daß die MSD nicht sensitiv ist für die Schrittweiten-Verteilung des Random Walks. Sie reagiert nur auf die Richtungs-Korrelationen.


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